Dưới vi phân của hàm lồi và một số ứng dụng trong tối ưu

ế tứ ề t ồ
ồ
r ú t sẽ ệ ớ ề tr
trờ số tự R ợ í ệ R
n

ớ tệ ữ ệ t ủ t ồ ồ ù ớ ữ
tí t tr ủ ó ế tứ ở tr ợ ở t
ệ
trì tí ồ ứ ụ ủ t ũ
ễ ề
ố ss ủ t r
ỉ tí t ổ trợ t ứ
ết q ở
ồ
ị ĩ t ố ể tr R
n
t ợ
ét ó
{x R
n
| x = a + b , 0 , 0 , + = 1}.
ị ĩ ột t C R
n
ợ ọ ột t ồ ế C ứ ọ
t q ể t ỳ ủ ó ứ
C ồ ỉ x, y C, [0, 1] = x + (1 )y C.


í ụ ề t ồ
C = R
2
+
t ồ
C = [2; 3) t ồ
C oxy tr R
3
t ồ
t ì trò tr t t ồ
í ụ ề t ồ
C = (2; 0) (0; 3) t ồ
C = {(x, y) R
2
| xy = 0} t ồ
ị ĩ ó tổ ợ ồ ủ ể ét x
1
, , x
k
ế
x =
k

j=1

j
x
j
,
j
0 , j = 1, , k ,
k

j=1

j
= 1.
ị ĩ tr R
n
ột t ợ ể
ó
{x R
n
| a
T
x = },
tr ó a R
n
ột ét R
ét tờ ợ ọ ét tế ủ s ột s
sẽ r ử ử ợ ị
ĩ s
ị ĩ ử ột t ợ ó
{x | a
T
x },
tr ó a = 0 R ử ó
ị ĩ C R
n
ột t ồ x C
N
C
(x) := { | , y x 0 , y C},
ợ ọ ó tế ủ C t
ét N
C
(x) ột ó ồ ó

í ụ r R
2
ét t C = R
2
+

N
C
(0) = { | , y 0 0 , y C}
= { |
2

i=1

i
y
i
0}
= { |
i
0}.
ị ĩ ột ể a C ợ ọ ể tr t ố ủ C
ế ó ể tr ủ C t t s ở a C
sẽ ý ệ t ợ ể tr t ố ủ C ri C ị
ĩ tr t ó
ri C := {a C | B : (a + B) a C C},
tr ó B ột ở ủ ố ể
ri C := {a a C | B : (a + B) a C C}.
tờ ệ t ý ệ C ó ủ C ợ C \ ri C ợ
ọ t ố ủ C
ệ ề C R
n
ột t ồ sử x ri C ó ớ ọ
y C tt ể tr t ố ó tể trừ ề tộ
ri C ó ớ ọ 0 < 1 tì (1 ) ri C + C ri C
ị ĩ ột ờ t ố ể ét tr R
n

t ợ tt ét x R
n
ó
{x R
n
| x = a + b , , R , + = 1}.
ị ĩ ột t C ợ ọ t ế ó ứ ọ ờ
t q ể t ỳ ủ ó tứ
x, y C , R = x + (1 )y C.
í ụ ề t
C = R
2
t ột t

ét ột trờ ợ r ủ t ồ
ị ĩ ồ ủ ột t E ủ tt t ồ ứ
E ồ ủ ột t E sẽ ợ ý ệ coE
ồ ó ủ ột t E t ồ ó ỏ t ứ E sẽ ý
ệ ồ ó ủ ột t E coE
ủ E ủ tt t ứ E
ủ ột t E sẽ ợ ý ệ a E
ị ĩ E R
n

ể ợ ọ ể tr ủ E ế tồ t ột ở U(a)
ủ s U(a) E
ý ệ t ợ ể tr ủ t E intE B q
ị t ở ố ó t ị ĩ t ó
intE = {x | r > 0 : x + rB E}.
ể ợ ọ ể ủ E ế ọ ủ ề ó ể
tộ E ể tộ E
E ợ ọ t ở ế ọ ể ủ E ề ể tr ủ E
E ợ ọ t ó ế E ứ ọ ể ủ ó
E ợ ọ ị ế tồ t ột ì ứ E
r R
n
t E ợ ọ t ế E ột t ó ị
ị ĩ ột t ồ
ột t F C ợ ọ ột ệ ủ ột t ồ C ế
F t ồ x, y C , tx + (1 t)y F , 0 < t < 1 = [x, y] F.
í ụ C := {(x, y, z) R
3
| x, y, z [0, 1]}
F
1
:= {(x, y, z) R
3
| x, y [0, 1], z = 0} ột ệ ủ t C
F
2
:= {(x, y, z) R
3
| y [0, 1], x = 1, z = 0} ột ệ ủ t
C
ể ự ệ ó tứ ề

ị ĩ x
0
C ó a
T
x = s tự ủ C t
x
0
ế
a
T
x
0
= , a
T
x x C.
s tự ủ C t x
0
C s q x
0
ể
t C ề ột í ử a
T
x tr ị ĩ tr ợ ọ
ử tự ủ C t x
0

ị ý r
ọ t ồ ó rỗ ứ ờ t ề ó ể ự

ị ý ỉ tế tí t ồ
ọ t ồ ó rỗ trù ớ t ộ ề
ủ tt ử tự ủ ó
ị ĩ t C D rỗ
ó s a
T
x = t C D ế
a
T
x a
T
y , x C , y D.
ó s a
T
x = t t C D ế
a
T
x < < a
T
y , x C , y D.
ó s a
T
x = t C D ế
Sup
xC
a
T
x < < inf
yD
a
T
y.
í ụ t t
t
C = {(x, y) R
2
| x
2
+ y
2
1},

D = {(x, y) R
2
| 1 x 1, 1 y 3}.
ó

C D rỗ
C, D t ợ ì tồ t s (0, 1)(x, y) = 1 t
(0, 1)(x, y) 1 (0, 1)(x

, y

) (x, y) C,(x

, y

) D.

y 1 y

(x, y) C,(x

, y

) D.
C, D t t ợ ì tồ t s
(a
1
, a
2
)(x, y) = t
(a
1
, a
2
)(x, y) < < (a
1
, a
2
)(x

, y

) (x, y) C,(x

, y

) D.
í ụ t
t
C = {(x, y) R
2
| x 0, y = 0},

D = {(x, y) R
2
| y
1
x
, y > 0, x > 0}.
ó
C D rỗ
C, D t ợ ì tồ t s (0, 1)(x, y) = 0 t
(0, 1)(x, y) = 0 (0, 1)(x

, y

) (x, y) C,(x

, y

) D.

y = 0 y

(x, y) C,(x

, y

) D.
C, D t ợ ì
Sup
(x,y)C
(0, 1)(x, y) = 0,
inf
(x

,y

)D
(0, 1)(x

, y

) = 0.
ị ý ị ý t
C D t ồ rỗ tr R
n
s C D =
ó ó ột s t C D

ệ q ổ ề tộ
C R
n
ột t ồ rỗ sử x
0
C ó tồ t
t R
n
, t = 0 t
t, x t, x
0
x C.
ị ý ị ý t
C D t ồ ó rỗ s C D = sử
ó ít t ột t ó t ó tể t ợ ở
ột s
ệ q C R
n
ột t ồ ó rỗ s 0 C
ó tồ t ột ét t R
n
, t = 0 > 0 s
t, x > 0 , x C.
ồ
ồ
C R
n
f : C R {, +} sẽ í ệ
dom f := {x C | f(x) < +} dom f ợ ọ ề ữ
ụ ủ f
epi f := {(x, à) C ì R | f(x) à} epi f ợ ọ tr ồ tị
ủ f
f(x) = + ế x C t ó tể f ợ ị
tr t ể
dom f := {x R
n
| f(x) < +}.
epi f := {(x, à) R
n
ì R | f(x) à}.
ị ĩ = C R
n
ồ f : C R {, +}
ó f ồ tr C ế epi f ột t ồ tr R
n+1

t sẽ ủ ế ệ ớ f : R
n
R {+}r
trờ ợ ị ĩ tr t ớ

f : R
n
R {+} ồ tr C ế
f[x + (1 )y] f(x) + (1 )f(y) , x, y C , (0, 1)
f : R
n
R {+} ồ t tr C ế
f[x + (1 )y] < f(x) + (1 )f(y) , x, y C , (0, 1)
f : R
n
R {+} ồ tr C ớ ệ số ồ > 0
ế
f[x + (1 )y] f(x) + (1 )f(y)
1
2
(1 )||x y||
2
,
x, y C , (0, 1).
f ợ ọ ột õ tr C ế f ồ tr C
í ụ f(x) = a
T
x + , a R
n
, R
x, y R
n
, (0, 1) t ó
f[x + (1 )y] = a
T
[x + (1 )y] +
= a
T
x + (1 )a
T
y +
= a
T
x + + (1 )a
T
y + (1 )
= (a
T
x + ) + (1 )(a
T
y + )
= f(x) + (1 )f(y).
f ột ồ tr R
n

x, y R
n
, (0, 1) ó
f[x + (1 )y] = a
T
[x + (1 )y]
= a
T
x (1 )a
T
y
= a
T
x (1 )a
T
y (1 )
= (a
T
x + ) (1 )(a
T
y + )
= f(x) (1 )f(y).
f ột ồ tr R
n
r f ột õ tr R
n


í ụ ỉ C = ột t ồ
t
C
(x) :=

0 ế x C,
+ ế x C.
ó
C
ỉ ủ C
x, y C, (0, 1) t ó
C
(x) = 0 ,
C
(y) = 0
C ồ x + (1 )y C
r
C
[x + (1 )y] = 0 =
C
(x) + (1 )
C
(y)
x C,y C, (0, 1) t ó

C
(x) = 0 ,
C
(y) = + ,
C
[x + (1 )y] +
r
C
[x + (1 )y]
C
(x) + (1 )
C
(y)
x, y C, (0, 1) t ó

C
(x) = + ,
C
(y) = + ,
C
[x + (1 )y] +
r
C
[x + (1 )y]
C
(x) + (1 )
C
(y)

C
ồ tr R
n

í ụ tự
t S
C
(y) := Sup
xC
y, x ó S
C
tự ủ C
x, y C, (0, 1) t ó
S
C
[x + (1 )y] = Sup
zC
x + (1 )y, z
= Sup
zC
{x, z + (1 )y, z}
Sup
zC
x, z + Sup
zC
(1 )y, z
= Sup
zC
x, z + (1 ) Sup
zC
y, z
= S
C
(x) + (1 )S
C
(y).
S
C
ồ tr C
ị ĩ f : R
n
R {+} t tết ồ
C R
n
ột t ồ rỗ ột số tự
ó ệ số ồ ủ f tr C ế ớ ọ (0, 1) ớ ọ
x, y C t ó
f[(1 )x + y] (1 )f(x) + f(y)
1
2
(1 )||x y||
2
.

ế = 0 tì f ồ tr C
ế f ó ệ số ồ tr C > 0 tì f ồ tr C ớ ệ số
ị ĩ ột f : R
n
R{+} ợ ọ í tờ
ế dom f = f(x) > ớ ọ
ị ĩ f : R
n
R {+} ợ ọ ó ế epi f
ột t ó tr R
n+1
ú ý ế f ột ồ tr ột t ồ C tì ó tể t trể
f t t
f
e
(x) =

f(x) ế x C,
+ ế x C.
ể f
e
(x) = f(x) ớ ọ x C f
e
ồ tr R
n
ữ f
e
í tờ ỉ f í tờ tự f
e
ó ỉ
f ó
ế f ột ồ tr R
n
tì dom f ột t ồ ì dom f í
ì ế tr R
n
ủ epi f tứ
dom f = {x|à R : (x, à) epi f}.
ị ĩ f : R
n
R {+}
f ợ ọ t t tr R
n
ế
f(x) = f(x) x R
n
, > 0.
f ợ ọ ớ ộ tí ế f(x + y) f(x) + f(y) x, y
f ợ ọ ớ tế tí ế f t t ớ
ộ tí
í ụ f(x) = x ớ tế tí t
x R
n
, > 0 t ó f(x) = x = ||.x = x = f(x)
x, y R
n
t ó f(x + y) = x + y x + y = f(x) + f(y)
ệ ề f : R
n
R {+} ột t t
tr R
n

ó ồ ỉ ớ ộ tí

Xem chi tiết: Dưới vi phân của hàm lồi và một số ứng dụng trong tối ưu