Điện động lực học lượng tử 5
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
với
k
và
là tám hệ số cần đƣợc xác định. Khai triển vế phải của (7.12), ta đƣợc :
Để không có số hạng nào phụ thuộc tuyến tính vào p
k
, ta chọn
k
=
, sau cùng ta
cần tìm hệ số
k
sao cho :
tức là
Ta thấy rằng có thể chọn
0
= 1,
1
=
2
=
3
= 1, nhƣng dƣờng nhƣ không có cách
nào tránh khỏi ―các số hạng chéo‖. Ở điểm này, Dirac đã có một ý tƣởng sáng giá: nếu
là các ma trận thay vì các con số thì sẽ nhƣ thế nào ? Khi các ma trận là không giao hoán,
ta có thể tìm thấy một tập hợp sao cho :
với
Hay ngắn gọn hơn là:
với g
là ma trận Minkowski, và dấu móc nhọn thể hiện một phản giao hoán tử.
Ta có thể tự giải quyết vấn đề này một cách bình thƣờng. Điều này có thể thực hiện đƣợc,
mặc dù ma trận nhỏ nhất là 4 4. Có một số tập hợp tƣơng đƣơng các ―ma trận gamma‖;
ta sẽ sử dụng qui ƣớc chuẩn ― Bjorken và Drell ‖ :
Trong đó
i
(i = 1,2,3) là các ma trận Pauli đã chỉ ra, 1 biểu thị cho ma trận đơn vị cấp 2
2, 0 biểu thị cho ma trận cấp 2 2 của các số 0.
Điện động lực học lượng tử 6
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Nhƣ một phƣơng trình ma trận cấp 4 4, hệ thức năng – xung lƣợng tƣơng đối
tính cho ra thừa số :
Bây giờ ta thu đƣợc phƣơng trình Dirac khi tách ra một số hạng (vấn đề không phải là số
nào, mà đây là một cách chọn theo qui ƣớc):
Thực hiện sự thay thế thông thƣờng p
i
(phƣơng trình 7.5), và cho kết
quả tác dụng lên hàm sóng
:
( Phƣơng trình Dirac)
Lƣu ý rằng
là một ma trận cấp 4 4 :
Ta gọi đó là ― lƣỡng Spinor‖ hay ― Spin Dirac ‖ (Mặc dù nó gồm 4 thành phần nhƣng đó
không phải là vectơ 4 chiều. Trong phần 3 ta sẽ chỉ ra nó thay đổi nhƣ thế nào khi ta thay
đổi hệ quán tính; nó sẽ không phải là một phép biến đổi Lorenzt thông thƣờng).
2. Các nghiệm của phương trình Dirac
Bây giờ ta sẽ đi tìm các nghiệm đơn giản của phƣơng trình Dirac. Trƣớc hết giả sử
rằng
độc lập đối với vị trí :
Cùng với (7.5), phƣơng trình này mô tả một trạng thái có xung lƣợng lƣợng bằng
không( p = 0 ). Phƣơng trình Dirac giản ƣớc thành :
Hoặc :
Điện động lực học lượng tử 7
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Trong đó
mang hai thành phần phía trên, và
mang hai thành phần phía dƣới. Do đó
Và các nghiệm là :
Ta xem thừa số
nhƣ là sự phụ thuộc thời gian đặc trƣng của một trạng thái lƣợng tử với năng lƣợng E.
Đối với một hạt đứng thì E = mc
2
, do đó
A
trong trƣờng hợp p = 0 chính xác là cái mà
ta mong đợi. Nhƣng với
B
thì sao ? Dƣờng nhƣ nó mô tả một trạng thái với năng lƣợng
âm (E = -mc
2
). Đây là một thất bại lớn và là điều đầu tiên mà Dirac cố tránh bằng cách
giả thiết về một ―biển vô hạn‖ không nhìn thấy đƣợc của các hạt có năng lƣợng âm, nó
lấp đầy các trạng thái không mong muốn. Thay vì làm thế, bây giờ ta giải thích các
nghiệm ―năng lƣợng âm‖ bằng cách đƣa ra các phản hạt với năng lƣợng dƣơng. Theo đó,
ví dụ nhƣ
A
mô tả các electron thì
B
sẽ mô tả các positron. Mỗi hàm sóng là một
spinor hai thành phần, đúng với hệ có spin 1/2. Tóm lại, phƣơng trình Dirac với p = 0
thừa nhận bốn nghiệm độc lập (bỏ qua các thừa số chuẩn hóa )
Điện động lực học lượng tử 8
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
lần lƣợt mô tả một electron với spin hƣớng lên, một electron hƣớng xuống, một positron
với spin hƣớng lên và một positron với spin hƣớng xuống.
Tiếp theo ta đi tìm nghiệm sóng phẳng dƣới dạng :
hoặc theo kí hiệu gọn hơn :
(với a là hằng số chuẩn hóa, tuy không phù hợp với mục đích biểu diễn của ta nhƣng cần
thiết sau này để giữ cho đơn vị phù hợp). Ta hi vọng tìm thấy một lƣỡng spin u(p) sao
cho
(x) thỏa mãn phƣơng trình Dirac ( lúc này p
(E/c,p) chỉ đơn giản là một tập hợp
của bốn tham số tùy ý, nhƣng vì chúng biểu diễn cho năng lƣợng và xung lƣợng nên đơn
giản nhất là ta gán cho chúng các kí tự thích hợp ngay từ khi bắt đầu). Do sự phụ thuộc
vào x xác định bởi số mũ
Thay biểu thức này vào phƣơng trình Dirac (7.20), ta có :
hoặc
Phƣơng trình này đƣợc biết đến nhƣ là ―phƣơng trình Dirac trong không gian xung
lƣợng ‖. Lƣu ý rằng đó là một phƣơng trình thuần túy đại số và không có đạo hàm. Nếu u
thỏa mãn phƣơng trình (2.12) thì
(ở phƣơng trình 2.10) thỏa mãn phƣơng trình Dirac
(1.20).
Ta có :
Do đó :
Điện động lực học lượng tử 9
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Trong đó chỉ số dƣới A biểu thị cho hai thành phần phía trên và B biểu thị cho hai thành
phần phía dƣới. Để thỏa mãn phƣơng trình (2.12), ta phải có
Thay u
B
vào u
A
ta đƣợc :
Nhƣng do
Nên
với 1 là ma trận đơn vị cấp 2 2.
Vậy
Và do đó
Tức là để thỏa mãn phƣơng trình Dirac, E và p (ở phƣơng trình 2.10) phải tuân
theo hệ thức năng – xung lƣợng tƣơng đối tính. Phƣơng trình theo E ở (2.20) cho ta hai
nghiệm:
Nghiệm dƣơng ứng với các trạng thái hạt, nghiệm âm ứng với các trạng thái của
phản hạt.
Quay lại phƣơng trình (2.15) và sử dụng (2.17), vấn đề trở nên đơn giản khi xây
dựng bốn nghiệm độc lập của phƣơng trình Dirac (bỏ qua các thừa số chuẩn hóa)
Điện động lực học lượng tử 10
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
đặt
thì
đặt
thì
đặt
thì
đặt
thì
Với (1) và (2) ta phải dùng dấu cộng ở phƣơng trình (2.21), nếu không u
B
sẽ bất
định khi p 0, đây là điều dễ hiểu với hàm sóng các hạt. Với (3) và (4) ta buộc phải
dùng dấu trừ, đó là các trạng thái của phản hạt. Thông thƣờng ta chuẩn hóa các spinor
này theo cách sao cho
Với dấu cộng kí hiệu cho liên hợp chuyển vị (hay ―liên hợp Hermit‖)
Do đó
Vậy bốn nghiệm là :
(
với
)
Điện động lực học lượng tử 11
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
(
với
)
Và hằng số chuẩn hóa là
Có thể đoán nhận đƣợc u
(1)
mô tả một electron với spin hƣớng lên, u
(2)
với spin
xuống và cứ nhƣ thế, nhƣng không phải nhƣ vậy. Với các hạt Dirac, các ma trận spin là:
với
và có thể dễ dàng kiểm tra rằng u
(1)
, chẳng hạn, không phải là một trạng thái riêng của
z
.
Tuy nhiên, nếu ta hƣớng trục z theo chiều chuyển động thì (trƣờng hợp này p
x
= p
y
= 0)
thì u
(1)
, u
(2)
,u
(3)
và u
(4)
là các spinor riêng của S
z
; u
(1)
và u
(3)
là spin hƣớng lên, u
(2)
và u
(4)
là các spin hƣớng xuống.
Nhƣ đã nói ở phần trƣớc thì E và p (trong biểu thức 2.10) là các tham số toán học
tƣơng ứng năng lƣợng và xung lƣợng trong vật lí, và điều này hoàn toàn đúng cho các
trạng thái của electron, u
(1)
và u
(2)
. Tuy nhiên, E ở u
(3)
và u
(4)
không thể biểu thị cho năng
lƣợng của positron; tất cả các hạt tự do, nhƣ electron và positron, đều mang năng lƣợng
dƣơng. Nghiệm năng lƣợng âm phải đƣợc giải thích lại nhƣ các trạng thái phản hạt với
năng lƣợng dƣơng. Để biểu diễn các nghiệm này dƣới dạng năng lƣợng và xung lƣợng
của positron, chúng ta đảo các dấu của E và p :
[cho nghiệm (3) và (4)]
Chú ý rằng chúng giống với các nghiệm cũ trong phƣơng trình Dirac; ta chỉ đơn
giản là chấp nhận một qui ƣớc khác về dấu cho các tham số, để phù hợp hơn với ý nghĩa
vật lí của chúng. Ngƣời ta thƣờng sử dụng kí tự
cho các trạng thái của positron, đƣợc
biểu diễn dƣới dạng năng lƣợng và xung lƣợng :
Điện động lực học lượng tử 12
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
(với
)
Từ đó ta sẽ không đề cập đến u
(3)
và u
(4)
nữa; các nghiệm ta sẽ dùng là u
(1)
, u
(2)
(biểu diễn hai trạng thái spin của một electron với năng lƣợng E và xung lƣợng p) và
(1)
,
(2)
(biểu diễn hai trạng thái spin của positron với năng lƣợng E và xung lƣợng p).
Lƣu ý rằng trong khi u thỏa mãn phƣơng trình Dirac (2.13) trong không gian xung lƣợng
dƣới dạng
Thì tuân theo phƣơng trình với dấu của p
ngƣợc lại :
Một cách ngẫu nhiên, sóng phẳng là các nghiệm đặc biệt của phƣơng trình Dirac.
Chúng mô tả các hạt với các năng lƣợng và xung lƣợng đặc trƣng, và trong một thí
nghiệm đơn giản chúng là các tham số mà ta có thể đo và điều chỉnh đƣợc.
3. Hiệp biến song tuyến tính
Ta đã đề cập đến trong phần 1 rằng các thành phần của một spinor Dirac không
biến đổi nhƣ một vectơ bốn chiều khi ta chuyển từ hệ quán tính sang một hệ khác. Vậy
chúng chuyển đổi nhƣ thế nào ? Ta sẽ không nói cụ thể ở đây mà chỉ trích dẫn ra kết quả:
Nếu ta đến một hệ đang dịch chuyển với tốc độ v theo phƣơng x thì qui tắc biến đổi sẽ là
Điện động lực học lượng tử 13
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
với S là ma trận cấp 4 4
với
và .
Giả sừ ta muốn xây dựng một đại lƣợng vô hƣớng không có một spinor
. Ta thử
biểu thức
Nhƣng đó lại không phải là một vô hƣớng, ta có thể kiểm tra bằng cách áp dụng qui tắc
biến đổi đã có:
Thật vậy:
Dĩ nhiên, tổng các bình phƣơng của các yếu tố của vectơ bốn chiều là bất biến, ta
cần các dấu trừ ― - ‖ cho các thành phần không gian. Với một phép thử-và-lỗi nhỏ ta sẽ
khám phá ra rằng trong trƣờng hợp các spinor, ta cần các dấu trừ cho thành phần thứ 3 và
thứ 4. Do đó ta sẽ đƣa ra phép hiệp biến vectơ bốn chiều để giữ nguyên các kí hiệu về
dấu, bây giờ ta sẽ trình bày hàm liên hiệp:
Ta thừa nhận đại lƣợng
là bất biến tƣơng đối tính. Với S
+
0
S =
0
, và do đó :
Ta đã phân biệt đƣợc vô hƣớng và giả vô hƣớng theo các tính chất của chúng theo
các phép biến đổi chẳn lẽ, P: (x,y,z)
(-x,-y,-z) . Các giả vô hƣớng thay đổi dấu, còn các
vô hƣớng thì không. Vậy là vô hƣớng hay giả vô hƣớng? Trƣớc hết ta cần biết spinor.
Dirac biến đổi nhƣ thế nào theo P. Một lần nữa, ta sẽ không thiết lập nó mà chỉ trích dẫn
kết quả :
Điện động lực học lượng tử 14
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Theo đó
Vì thế ( ) là bất biến theo phép biến đổi chẵn- lẽ, nó là một vô hƣớng. Nhƣng ta cũng
có thể đồng thời thực hiện một giả vô hƣớng không có
:
với
Theo phép biến đổi chẵn lẽ
[lƣu ý là (
0
)
2
= 1].
0
ở ngƣợc phía với
5
nhƣng ta có thể đảo vị trí của chúng bằng cách
lƣu ý rằng nó phản giao hoán với
1
,
2
và
3
(phƣơng trình 7.15) và tự giao hoán với
chính nó (
3
0
= -
0
3
,
2
0
= -
0
2
,
1
0
= -
0
1
,
0
0
=
0
0
)
do đó
Tƣơng tự,
5
cũng phản giao hoán với các ma trận khác:
Trong bất kì trƣờng hợp nào thì
do đó nó là một giả vô hƣớng.
Nhƣ vậy, có 16 tích có dạng
i
*
j
(lấy một thành phần của
* và một thành
phần của
) khi i, j chạy từ 1 đến 4. Mƣời sáu tích này có thể cộng lại với nhau theo
những tổ hợp tuyến tính khác nhau để xây dựng nên các đại lƣợng với các tính chất dịch
chuyển dễ nhận thấy, nhƣ là :
= vô hƣớng (1 thành phần)
= giả vô hƣớng (1 thành phần)
= vectơ (4 thành phần)
= giả vectơ (4 thành phần)
= tenxơ phản xứng (6 thành phần)
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét