- lớn nhất, khảo sát lớp hàm loga-lồi. Thông qua việc tìm hiểu các hàm loga-lồi đặc
biệt, ta cũng sẽ tìm hiểu và thiết lập một vài bất đẳng thức liên quan đến lớp hàm
này.
3
Chương 1
KIẾN THỨC MỞ ĐẦU - HÀM LỒI VÀ
HÀM LOGA-LỒI.
Trong chương này, chúng tôi nêu ra một số ký hiệu sẽ được dùng trong khóa luận, trình
bày ngắn gọn các vấn đề lý thuyết làm cơ sở cho các vấn đề trình bày ở hai chương sau. Các vấn
đề về sự tương đương giữa hai không gian tuyến tính định chuẩn, hàm số liên tục, hàm số khả
vi, giá trị lớn nhất - nhỏ nhất và các bất đẳng thức liên quan đến tích phân, định lý giới hạn
dưới dấu tích phân cũng được nhắc lại. Ta cũng sẽ tìm hiểu sơ qua định nghĩa và các tính chất
của tập lồi. Phần cuối chương một chúng tôi tập trung mô tả các định nghĩa về hàm lồi trên một
tập, hàm loga-lồi cũng như đề cập đến ý nghĩa hình học về tính lồi của một hàm trên một khoảng
của tập số thực.
1.1 Kiến thức mở đầu.
Trong mục 1.1 này, tác giả chỉ xin đưa ra một số thuật ngữ, khái niệm, tính chất
sẽ được sử dụng trong suốt khóa luận. Các khái niệm không gian tuyến tính, chuẩn,
sự hội tụ, ánh xạ tuyến tính, ánh xạ song tuyến tính, số chiều, không gian Banach, sự
đồng phôi, không gian topo, độ đo. . . độc giả có thể tìm thấy ở trong [2] và [1] hoặc
trong bất kỳ giáo trình giải tích hàm nào.
Trong khóa luận này, ta sẽ ký hiệu X, Y là không gian tuyến tính định chuẩn thực.
Chuẩn của một phần tử x ∈ X sẽ được ký hiệu là x.
Ta cũng sẽ ký hiệu I ⊂ R là một khoảng của tập số thực, B(x
0
, ) là hình cầu mở
tâm x
0
bán kính , L(X, Y ) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X
vào Y .
4
Các tập số cũng được ký hiệu như thường lệ:
N : Tập hợp các số tự nhiên.
N
∗
: Tập hợp các số nguyên dương.
Z : Tập hợp các số nguyên.
Q : Tập hợp các số hữu tỉ.
R : Tập hợp các số thực.
R
+
: Tập hợp các số thực không âm.
R
>
: Tập hợp các số thực dương.
C : Tập hợp các số phức.
Để người đọc theo dõi khóa luận một cách thuận tiện, tôi xin đưa ra một số khái
niệm, định lý và tính chất sau. Bạn đọc có thể dễ dàng tìm thấy hoặc xem chứng
minh một cách đầy đủ trong nhiều tài liệu giải tích hiện nay.
1.1.1. Sự đồng phôi giữa các không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.1.1. [2] Cho X và Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn. Một ánh
xạ A: X → Y được gọi là một phép đồng phôi tuyến tính từ X lên Y nếu A là song
ánh tuyến tính, A liên tục và toán tử ngược A
−1
cũng liên tục.
Khi đó người ta nói hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y là đồng phôi tuyến
tính với nhau.
Định nghĩa 1.1.2. [2] Cho (X,.
1
) và (X,.
2
) là hai không gian tuyến tính định
chuẩn. Ta gọi hai chuẩn này là tương đương nếu ánh xạ đồng nhất id: (X,.
1
) →
(X,.
2
) là phép đồng phôi tuyến tính.
Ta có định lý:
Định lý 1.1.1. [2] Tất cả các không gian định chuẩn n-chiều đều đồng phôi tuyến
tính với nhau. Do đó, tất cả các không gian định chuẩn n-chiều đều đồng phôi tuyến
tính với R
n
.
1.1.2. Ánh xạ liên tục.
Định nghĩa 1.1.3. Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, U là một tập
mở trong X và ánh xạ f : U → Y .
Khi đó, f được gọi là liên tục tại x
0
nếu với mọi > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi
x ∈ U, x − x
0
< δ thì f(x) − f(x
0
) < .
Nếu f liên tục tại mọi x
0
∈ U thì ta nói ánh xạ f liên tục trên U.
5
Định nghĩa 1.1.4. [6] Cho U ⊂ X là một tập mở trong không gian tuyến tính định
chuẩn X. Một hàm f : U → R được gọi là Lipschitz địa phương nếu với mỗi x ∈ U,
có một lân cận B(x, ) của x và một số K
x
để bất đẳng thức
|f(y) − f(z)| ≤ K
x
y − z (1.1.1)
đúng với mọi y, z ∈ B(x, ). Nếu bất đẳng thức (1.1.1) đúng với mọi phần tử của tập
V ⊆ U và K độc lập với x, ta nói f Lipschitz trên V .
Nhận xét 1.1.2. Từ (1.1.1) ta suy ra f Lipschitz địa phương trên U thì hàm f liên
tục trên U.
1.1.3. Ánh xạ khả vi.
Định nghĩa 1.1.5. [6] Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, U là tập mở
trong X và ánh xạ f : U → Y . Khi đó f được gọi là khả vi tại x
0
nếu có một ánh xạ
tuyến tính A: X → Y sao cho với h đủ gần điểm 0 ta có
f(x
0
+ h) = f(x
0
) + Ah +h (x
0
, h),
trong đó (x
0
, h) → 0 khi h → 0.
Ánh xạ tuyến tính A được gọi là đạo hàm của ánh xạ f tại điểm x
0
và được ký hiệu
là f
(x
0
).
Nếu ánh xạ f khả vi tại mọi x ∈ U thì ta nói hàm f khả vi trên U.
Nhận xét 1.1.3. Từ Định nghĩa 1.1.5 ta rút ra các nhận xét sau:
1. f
(x
0
) là một ánh xạ tuyến tính.
2. Một cách tương đương, f khả vi tại x
0
nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính A sao cho
lim
h→0
f(x
0
+ h)− f(x
0
) − Ah
h
= 0.
Định nghĩa 1.1.6. [6] Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, U là tập mở
trong X và ánh xạ f : U → Y . Khi đó f được gọi là có đạo hàm tại x
0
theo hướng h
nếu tồn tại giới hạn
lim
t→0
f(x
0
+ th) − f(x
0
)
t
.
Đạo hàm của hàm f tại x
0
theo hướng h được ký hiệu là Df(x
0
, h).
Nhận xét 1.1.4. Cho f : U → R là hàm khả vi trên một tập mở U của không gian
tuyến tính định chuẩn X. Khi đó, với mọi x ∈ U ta luôn có Df(x, h) = f
(x)(h).
6
Thật vậy, cố định h ∈ X, h = 0. Do f khả vi tại x ∈ U nên ta có
f(x + th)− f(x) = f
(x)(th) +◦(||th||),
trong đó ◦(||th||) → 0 khi ||th|| → 0.
Do đó
f(x + th) − f(x)
t
= f
(x)(h) +
◦(||th||)
t
.
Chuyển qua giới hạn, cho t → 0 ta được Df(x, h) = f
(x)(h).
Đặc biệt, khi X ≡ R
n
và h trùng với vectơ đơn vị e
i
= (0, . . . , 1 . . . , 0) thì
Df(x
0
, e
i
) được gọi là đạo hàm riêng thứ i của ánh xạ f và ta viết
∂f
∂x
i
(x
0
) = f
i
(x
0
) = Df(x
0
, e
i
).
Ta có định lý
Định lý 1.1.5. [6] Cho U là tập mở của không gian định chuẩn R
n
. Nếu ánh xạ
f : U −→ R
m
(x
1
, . . . , x
n
) −→ (f
1
(x
1
, . . . , x
n
), . . . , f
m
(x
1
, . . . , x
n
))
khả vi tại x ∈ U thì tất cả các đạo hàm riêng của hàm f đều tồn tại và
[f
(x)] =
∂f
1
∂x
1
(x) . . .
∂f
1
∂x
n
(x)
.
.
.
.
.
.
∂f
m
∂x
1
(x) . . .
∂f
m
∂x
n
(x)
Định lý 1.1.6. [6] Cho U là một tập mở của không gian tuyến tính định chuẩn R
n
.
Ánh xạ f : U → R
m
có các đạo hàm riêng theo hướng liên tục trên U. Khi đó f
(x)
tồn tại và được xác định như trong Định lý 1.1.5.
Bây giờ, cho U là tập mở trong không gian tuyến tính định chuẩn thực X. Nếu
hàm f : U → R có đạo hàm trên U thì ta có ánh xạ đạo hàm f
.
Nếu ánh xạ đạo hàm f
có đạo hàm tại x ∈ U thì ta cũng nói hàm f có đạo hàm cấp
hai tại x và ký hiệu là f
(x).
Với h ∈ X ta có f
(x)(h) là ánh xạ tuyến tính đi từ X → R. Ta suy ra [f
(x)(h)](k)
là một phần tử của R (k ∈ X). Ta có [f
(x)(h)](k) tuyến tính theo cả h và k. Vì
vậy, ta xem f
(x) là một ánh xạ song tuyến tính từ X × X vào R và [f
(x)(h)](k)
sẽ được ký hiệu là f
(x)(h, k) (h, k ∈ X).
7
Định nghĩa 1.1.7. [6] Cho X là một không gian tuyến tính thực.
Một ánh xạ song tuyến tính B : X × X → R được gọi là đối xứng nếu B(h, k) =
B(k, h) ∀ h, k ∈ X.
B được gọi là xác định không âm (xác định dương) nếu với mọi h ∈ X khác 0, ta có
B(h, h) ≥ 0 (B(h, h) > 0).
Ta có định lý
Định lý 1.1.7. [6] Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn và U là một
tập mở trong X, f : X → Y là ánh xạ khả vi liên tục trên U. Khi đó f
(x) là đối xứng
tại những điểm mà f
tồn tại.
Để thuận tiện trong chứng minh ở chương sau, trong phần này ta cũng sẽ giới thiệu
khai triển Taylor với phần dư Lagrange thể hiện trong định lý dưới đây:
Định lý 1.1.8. [5] Giả sử f : [a; b] → R có đạo hàm liên tục tới cấp n trên [a; b] và
có đạo hàm cấp n + 1 trên (a; b). Khi đó tồn tại c ∈ (a; b) sao cho
f(b) =
n
k=0
f
(k)
(a)
k!
(b − a)
k
+
f
(n+1)
(c)
(n + 1)!
(b − a)
n+1
.
1.1.4. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu.
Định nghĩa 1.1.8. Cho U là một tập con của không gian tuyến tính định chuẩn X.
Hàm f : U → R được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) địa phương tại x
0
∈ U nếu có một
hình cầu mở B(x
0
, ) ⊂ U để f(x) ≤ f(x
0
) (f(x) ≥ f(x
0
)) với mọi x ∈ B(x
0
, ).
Nếu f(x) ≤ f(x
0
) (f(x) ≥ f(x
0
)) với mọi x ∈ U thì f được gọi là đạt cực đại (cực
tiểu) trên U.
1.1.5. Bất đẳng thức H¨older - giới hạn dưới dấu tích phân.
Định lý 1.1.9. [2] (Bất đẳng thức H¨older).
Cho E là một tập khác trống và (E, F, µ) là một không gian độ đo. Giả sử f, g là các
hàm số thực đo được trên E. Khi đó
E
|f.g|dµ ≤
E
|f|
p
dµ
1/p
E
|g|
q
dµ
1/q
với p, q ∈ R
>
, 1/p + 1/q = 1.
Bây giờ, nếu f và g là các hàm số thực dương, với λ ∈ (0, 1), áp dụng bất đẳng
thức H¨older ta có
E
f
λ
.g
1−λ
dµ ≤
E
fdµ
λ
E
gdµ
1−λ
.
8
Nếu λ ∈ {0, 1} và
E
fdµ > 0,
E
gdµ > 0 thì bất đẳng thức trên vẫn đúng. Ta có hệ
quả:
Hệ quả 1.1.10. Cho E là một tập khác trống và (E, F, µ) là một không gian độ đo.
Giả sử f, g là các hàm số thực dương đo được trên E,
E
fdµ > 0,
E
gdµ > 0. Khi
đó với λ ∈ [0; 1] ta có
E
f
λ
.g
1−λ
dµ ≤
E
fdµ
λ
E
gdµ
1−λ
.
Hệ quả trên vẫn đúng nếu f, g là các hàm số thực dương hầu khắp nơi trên E.
Định lý 1.1.11. [1] (Levi)
Cho E là một tập khác trống và (E, F, µ) là một không gian độ đo. Nếu dãy hàm (f
n
)
trong đó 0 ≤ f
n
là các hàm số thực đo được trên E đơn điệu tăng và dần về hàm f
thì
lim
n→∞
E
f
n
dµ =
E
fdµ.
Từ Định lý 1.1.11 ta có hệ quả sau:
Hệ quả 1.1.12. [1] Cho E là một tập khác trống và (E, F, µ) là một không gian độ
đo. Nếu f
n
là các hàm số thực không âm đo được trên E với mọi n ∈ N
∗
thì
E
∞
n=1
f
n
dµ =
∞
n=1
E
f
n
dµ.
1.1.6. Tập lồi và các tính chất của tập lồi.
Định nghĩa 1.1.9. [6] Một tập U của một không gian tuyến tính thực X được gọi là
tập lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng
[x, y] = {λx + (1 − λ)y|λ ∈ [0, 1]}
nối bất kỳ hai điểm x, y ∈ U.
Đặc biệt, nếu X ≡ R thì tập lồi là một khoảng, một đoạn nay nửa khoảng.
Nếu α
1
, . . . , α
n
là các số thực không âm,
n
i=1
α
i
x
i
= 1 thì
x =
n
i=1
α
i
x
i
được gọi là một tổ hợp lồi của x
1
, . . . , x
n
.
Định lý 1.1.13. [6] Một tập U ⊂ X là tập lồi nếu và chỉ nếu mọi tổ hợp lồi của các
điểm của U đều nằm trong U.
9
Định lý 1.1.14. [6] Nếu {U
i
}, i ∈ J là một họ các tập lồi thì U = ∩
i∈J
U
i
là một tập
lồi.
Định nghĩa 1.1.10. Cho U là một tập con của X. Khi đó, bao lồi của U ký hiệu là
co(U), là giao của tất cả các tập lồi chứa U.
Bao lồi của U là một tập lồi.
Định lý 1.1.15. [6] Cho U là một tập con của X. Khi đó bao lồi của U là tập tất
cả các tổ hợp lồi của các phần tử của U.
Định nghĩa 1.1.11. [6] Một điểm x
0
của tập lồi U được gọi là điểm cực biên nếu x
0
không là điểm trong của bất cứ đoạn thẳng nào nằm trong U. Tức là không tồn tại
hai điểm x
1
, x
2
∈ U và λ ∈ (0; 1) để x
0
= λx
1
+ (1 − λ)x
2
.
Ta có định lý:
Định lý 1.1.16. [6] Cho U ⊆ R
n
là một tập lồi, compact. Khi đó U là bao lồi của
tất cả các điểm cực biên của nó.
1.2 Hàm lồi và hàm loga-lồi.
Các hàm lồi được định nghĩa trên các tập lồi.
Định nghĩa 1.2.1. [9] Cho I là một khoảng chứa trong R và hàm f : I → R.
1. f được gọi là hàm lồi nếu
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) (1.2.1)
với mọi x, y ∈ I và với mọi λ ∈ [0; 1].
2. f được gọi là hàm lồi thực sự (chặt) nếu (1.2.1) là bất đẳng thức ngặt với các
điểm x, y phân biệt và λ ∈ (0; 1).
3. Nếu −f là hàm lồi (lồi thực sự) thì ta nói f là hàm lõm (lõm thực sự).
4. Nếu f vừa là hàm lồi vừa là hàm lõm thì ta nói f là hàm affine.
Thực ra, tại λ = 0 và λ = 1 thì (1.2.1) luôn đúng nên để cho tiện, đôi khi ta chỉ
cần xét λ ∈ (0; 1).
Trong trường hợp tổng quát, với U là một tập lồi trong không gian tuyến tính định
chuẩn thực X. Một hàm f : U → R được gọi là lồi nếu
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y)
10
với mọi x, y ∈ U và với mọi λ ∈ [0; 1].
Các khái niệm hàm lồi thực sự, hàm lõm, lõm thực sự cũng được định nghĩa tương
tự như trong Định nghĩa 1.2.1.
Định nghĩa 1.2.2. Cho I là một khoảng của tập số thực và f : I → (0,∞). Khi đó
1. f được gọi là hàm loga-lồi nếu ln f là hàm lồi. Nói cách khác
f(λx + (1 − λ)y) ≤ f(x)
λ
f(y)
1−λ
∀x, y ∈ I, λ ∈ [0, 1].
2. f được gọi là hàm loga-lõm nếu ln f là hàm lõm. Nói cách khác
f(λx + (1 − λ)y) ≥ f(x)
λ
f(y)
1−λ
∀x, y ∈ I, λ ∈ [0, 1].
Trong phần cuối của chương 2 ta sẽ chỉ ra rằng hàm loga-lồi cũng là một hàm lồi.
Ví dụ 1.2.1. Các hàm sau đây là hàm lồi:
1. f : R → R, f(x) = ax + b với a, b là các số thực bất kỳ.
Thật vậy, với bất kỳ a, b ∈ R, x, y ∈ R, λ ∈ [0, 1], ta có
f(λx + (1 − λ)y) = a(λx + (1 − λ)y) + b = λ(ax + b) + (1 − λ)(ay + b)
thỏa mãn định nghĩa của hàm lồi.
2. Ánh xạ chuẩn . : X → R với X là một không gian tuyến tính định chuẩn
thực.
Thật vậy, với x, y ∈ X, λ ∈ [0; 1] ta có
λx + (1 − λy) ≤ λx + (1 − λ)y ≤ λx + (1 − λ)y
thỏa mãn định nghĩa của hàm lồi.
3. Hàm khoảng cách d
U
: R
n
→ R, d
U
(x) = d(x, U) = inf
z∈U
x − z với U là tập lồi
không rỗng của R
n
.
Thật vậy, d
U
là hàm lồi do với x, y ∈ R
n
, λ ∈ [0; 1] ta có
d
U
(λx + (1 − λ)y) = inf
z∈U
λx + (1 − λ)y − z
= inf
z∈U
λ(x − z) + (1 − λ)(y − z)
≤ inf
z∈U
λ(x − z) + inf
z∈U
(1 − λ)(y − z)
≤ λ inf
z∈U
x− z + (1 − λ) inf
z∈U
y − z
= λd
U
(x) + (1 − λ)d
u
(y).
11
Các tính chất của hàm lồi và tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai trong chương 2 sẽ cho
ta nhiều công cụ hơn để chứng minh một hàm nào đó là hàm lồi.
Bây giờ, cho f : I → R là một hàm lồi trên một
khoảng I ⊂ R. Với u, v ∈ I phân biệt và x ∈ [u; v].
Khi đó tồn tại một số λ ∈ [0; 1] để
x = λu + (1 − λ)v.
Ta có
x − u
v − u
=
λu + (1 − λ)v − u
v − u
=
(1− λ)(v − u)
v − u
= 1 − λ. (1.2.2)
(u,f(u))
(v,f(v))
xO
y
(x,f(x))
Do đó,
f(x) ≤ λf(u) + (1 − λ)f(v)
= f(u) + (1 − λ)(f(v)− f(u))
= f(u) +
f(v) − f(u)
v − u
(x − u) (theo (1.2.2)).
Ta có f(u) +
f(v) − f(u)
v − u
(x− u) = 0 chính là đường thẳng đi qua hai điểm (u, f(u))
và (v, f(v)).
Nói cách khác, các điểm trên đồ thị của hàm f|
[u;v]
nằm dưới dây cung nối hai điểm
(u, f(u)) và (v, f(v)), với mọi u, v ∈ I, u < v. Đây chính là ý nghĩa hình học về tính
lồi của hàm f.
12
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét