Hình học xạ ảnh 6

Bài tập 6

Bài tập 6:
Mặt phẳng aphin A2 được bổ sung thêm những điểm
vô tận để trở thành mặt phẳng xạ ảnh P2. Trong A2 ta chọn
mục tiêu aphin và xét các điểm có tọa độ đối với mục tiêu đó
như sau: A1(1,0), A2(0,1), A3(0,0) và E(1,1). Xem {A1, A2,A3,E}
là mục tiêu xạ ảnh của P2. Nếu một điểm M có tọa độ aphin la
(x1, x2) thì tạo độ xạ ảnh của nó bằng bao nhiêu? Điểm vô tận
của đường thẳng aphin có tọa độ xạ ảnh bao nhiêu nếu biết
phương của nó đối với mục tiêu? Tổng quát cho trường hợp n
chiều.

-Xây dựng mô hình aphin của không gian xạ ảnh P
2
→
a
→←
đd
∞
M
→
a
, ta tìm tọa độ đối với cơ sở sinh ra mục tiêu xạ ảnh P
2
Phương pháp:
∞
M
,
→
a
là điểm vô tận thuộc đường thẳng aphin có vectơ chỉ
phương khi đó:
-Gọi
-Tìm tọa độ xạ ảnh của điểm M có tọa độ aphin (x
1
,x
2
) trong P
2
-Tìm cơ sở sinh ra mục tiêu xạ ảnh

Bài giải-bài tập 6:
Xây dựng mô hình aphin của không gian xạ ảnh
Theo mô hình aphin, ta có ánh xạ:
XV
→
3
:p
1
V∈
Với
2
VAX
2
∪=
Lấy điểm O∈
Α
3
mà O∉
Α
2

,

Α
1

là không gian con
một chiều của
V
3
+ Nếu
V
1
⊂
V
2
: p (
V
1
) =
V
1
Khi đó ta có không gian xạ ảnh:
(X, p, V
3
)
Đặt:
33
2211
,
AOA
AOAAOA
đd
đdđd
→←
→←→←
+ Nếu V
1
⊄V
2
: ∃!M∈A
2
:
Đặt: p(V
1
)=M
OM

Bài giải-bài tập 6:
Tìm cơ sở sinh ra mục tiêu xạ ảnh
Với
{ }
3,1
, EA
i
là mục tiêu xạ ảnh trong P
2
ứng với
cơ sở đã chọn
+ Ta có:
là một mục tiêu aphin
A
2
{ }
213
,, AAA
23133
AAAAEA
+=⇒
Ta đặt:
332211
,, OAeOAeOAe −===
23133
OAOAOAOAOEOA
+++=+⇔
321
OAOAOAOE
−+=⇔
{ }
3,1
i
e
⇒
Là cơ sở sinh ra mục tiêu xạ ảnh
{ }
EAAA ,,,
213

Bài giải-bài tập 6:
Tìm tọa độ xạ ảnh của M trong P2
Theo giả thuyết M có tọa độ (x
1,
x
2
) trong A
2
đối với
mục tiêu aphin
{ }
213
,, AAA
2321313
AAxAAxMA +=⇒
Mặt khác:
( )
( )
3212211
3212211
223211313
232131333
1
1
exxexex
OAxxOAxOAx
OAxOAxOAxOAxOA
AAxAAxOAMAOAOM
−+−+=
−+−+=
++++=
++=+=
( ) { }
3,1
2121
,/1,,
=
−+⇒
i
i
EAxxxxM

Bài giải-bài tập 6:
Tìm tọa độ xạ ảnh của trong P
2
( )
{ } ( )
∞
→←=
MaAAAAaaa
đd
231321
,/,
+ Gọi M
∞
là điểm thuộc đường thẳng ∆, với ∆ có
véctơ chỉ phương là
( )
( )
3212211
3212211
232131
eaaeaea
OAaaOAaOAa
AAaAAaa
+−+=
+−+=
+=⇒
( )
{ }
3,1
2121
/,,
=
+=⇒
i
i
eaaaaa
( )
{ }
3,1
2121
,/,,
=
∞
+=⇒
i
i
EAaaaaM
∞
M

Bài giải-bài tập 6:
Trường hợp tổng quát
Ta xây dựng mô hình không gian xạ ảnh theo mô hình
aphin, khi đo ta sẽ có được không gian xạ ảnh P
n
Tọa độ của M trong không gian aphin:
( ) { }
,/, ,,
1,1
21
+=
ni
in
AxxxM
A
1
(1,0,0,…,0)
A
2
(0,1,0,…,0)
.
.
.
A
n+1
(0,0,0,…,0)
Đặt:
EOEniAOA
đd
i
đd
i
→←+=→← ,1,1,

Bài giải-bài tập 6:
Trường hợp tổng quát
Ta có:
( )
121
121111
1

+
++++
−−+++=⇒
+++=
nn
nnnnn
OAnOAOAOAOE
AAAAAAEA
Đặt:
( )
{ }
1,1
11
1
,1,
+=
++
⇒
−−=
==
ni
i
ni
ii
e
OAne
niOAe
là cơ sở sinh ra mtxa
{ }
1,1
,
+= ni
i
EA

Bài giải-bài tập 6:
Trường hợp tổng quát
nnnnnn
AAxAAxAAxMA
12121111

++++
+++=
 Trường hợp M có tọa độ aphin
( ) { }
1,1
21
/, ,,
+=
ni
in
AxxxM
Khi đó:
( )
( )
1212211
1212211
1
1
1

1
+
+
−+++
−
−+++=⇒
−+++−+++=⇒
nnnn
nnnn
exxx
n
exexexOM
OAxxxOAxOAxOAxOM
( ) { }
1,1
2121
,/1
1
1
,, ,,
+=






−+++
−
⇒
ni
inn
EAxxx
n
xxxM

Xem chi tiết: Hình học xạ ảnh 6