lý thuyết sự xác định duy nhất các hàm phân hình

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "lý thuyết sự xác định duy nhất các hàm phân hình": http://123doc.vn/document/1051151-ly-thuyet-su-xac-dinh-duy-nhat-cac-ham-phan-hinh.htm

◦ Hàm
1
,Nr
fa


−

,
)
1
,
k
nr
fa


−

,
(1
1
,
k
nr
fa
+


−

,
)
1
,
k
Nr
fa


−

,
(1
1
,
k
Nr
fa
+


−

,
)
1
,
k
Nr
fa


−

,
(1
1
,
k
Nr
fa
+


−

,
1
,
p
Nr
fa


−

được định nghĩa tương ứng.
▪ Hàm xấp xỉ:
( )
2
0
11 1
, log
2
i
mr d
fa
f re a
π
θ
θ
π
+

=

−
−

∫

▪ Hàm đặc trưng:
111
,,,
Tr mr Nr
fa fa fa

= +

−−−


▪ Số khuyết:
( )
( ) ( )
11
,,
, lim 1 lim
,,
r
r
mr Nr
fa fa
af
Trf Trf
δ
→∞
→∞
 
 
−−
 
= = −


( )
( )
1
,
, 1 lim
,
r
Nr
fa
af
Trf
→∞


−

Θ=−

▪ Bậc và bậc dưới của hàm phân hình:
( )
log ,
lim
log
r
Trf
r
λ
+
→∞
=
;
( )
log ,
lim
log
r
Trf
r
µ
+
→∞
=

▪ Kí hiệu:
(
) ( )
( )
,,Srf oTrf=

( )
,r rE→∞ ∉
, E là tập có độ đo tuyến tính hữu hạn.
▪ Hàm
( )
az
được gọi là hàm nhỏ của
( )
fz
nếu
( ) ( )
( )
,,Tra oTrf=
.
Định nghĩa 1.2: Cho
f
là hàm phân hình trên mặt phẳng phức và
a
là giá trị hữu hạn. Nếu
( )
fz a−

không có không điểm thì
a
được gọi là giá trị Picard của
( )
fz
.
1.2 Một số kết quả chuẩn bị
♦ Định lý 1.1 ( Định lý cơ bản thứ nhất ): Cho
f
là hàm phân hình trong
( )
zR≤ ≤∞
, và
a
là số phức tuỳ
ý. Khi đó với
0 rR<<
ta có
( ) ( )
1
, , log ,T r T r f c ar
fa
λ
ε

= ++

−


trong đó
c
λ
là hệ số khác 0 đầu tiên trong khai triển Laurent của
( )
1
fz a−
tại 0 và
( )
, log log 2ar a
ε
+
≤+
.
♦ Định lý 1.2 ( Định lý cơ bản thứ hai ): Cho
f
là hàm phân hình trên mặt phẳng phức và
12
, , ,
q
aa a

( )
3q ≥
là các giá trị phân biệt trên mặt phẳng phức mở rộng. Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1
2. , , ,
q
j
j
q Trf Nr N r Srf
fa
=

− < −+


−

∑



và
( ) ( ) ( )
0
1
11
2. , , , ,
'
q
j
j
q Trf Nr N r Srf
fa f
=


−< −+



−


∑

trong đó
( ) ( ) ( )
1
1
2. , , ' ,
'
N r Nrf Nrf Nr
f

= −+




0
1
,
'
Nr
f



là không điểm của
'f
mà không là không điểm của
j
fa−

( )
1,jq=


♦ Định lý 1.3: ( Định lý cơ bản thứ hai với hàm nhỏ ): Cho
( )
fz
là hàm phân hình siêu việt trên mặt phẳng
phức và
( ) ( )
1,2,
i
az i q=
là các hàm nhỏ phân biệt của
( )
fz
. Khi đó với mọi
0
ε
>
ta có
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1 ., , , ,
q
j
j
q Trf Nrf Nr Srf
fa
ε
=

−− < + +


−

∑

Hơn thế, nếu
3q ≥
thì tồn tại số nguyên dương p sao cho
( ) ( ) ( )
1
1
2 ., , ,
q
p
j
j
q Trf N r Srf
fa
ε
=

−− < +


−

∑

♦ Định lý 1.4: Cho
( )
fz
là hàm phân hình khác hằng và
( ) ( )
1,2,3,4,5
i
az i=
là các hàm nhỏ phân biệt của
( )
fz
. Khi đó
( ) ( )
5
1
1
2. , , ,
j
j
Trf Nr Srf
fa
=

<+


−

∑

♦ Định lý 1.5: Cho
( ) ( )
,fz gz
là hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức ,
( )
f
λ
là bậc của
( )
fz
và
( )
g
µ
là bậc dưới của
( )
gz
. Nếu
( ) ( )
fg
λµ
< thì
( ) ( )
( )
( )
, ,,Trf oTrg r= →∞
.
♦ Định lý 1.6 ( Định lý Milloux ): Cho
( )
fz
là hàm phân hình trên mặt phẳng phức và k là số nguyên
dương. Đặt
( ) ( )
( )
( )
0
.
k
i
i
i
z azf z
ψ
=
=
∑
trong đó
( ) ( )
1,2,
i
az i k=
là các hàm nhỏ của
( )
fz
. Khi đó ta có:
( )
,,mr Srf
f
ψ

=



và
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,,.,, 1.,,
Tr Trf kNrf Srf k Trf Srf
ψ
≤ + + ≤+ +

và
( ) ( ) ( )
0
11 1
,,, , , ,
1'
Trf Nrf Nr Nr N r Srf
f
ψψ

 
<+ + − +

 
−
 


trong đó
0
1
,
'
Nr
ψ



là hàm đếm không điểm của
'
ψ
mà không là không điểm của
1
ψ
−
.
♦ Định lý 1.7: Cho
( )
fz
là hàm phân hình siêu việt trên mặt phẳng phức và k là số nguyên dương. Khi đó,
với
0
ε
>
cố định cho trước ta có
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
11 1 1 1
, 1 ., 1 ., , ., ,
1
kk
Trf Nr Nr Nr Trf Srf
kfk
ff
ε
+
  

 
<+ ++ − + +
  

 
  
−
 

  

♦ Định lý 1.8: Cho
( )
fz
là hàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức. Nếu
0, ∞
là giá trị Picard của
( )
fz
thì tồn tại hàm nguyên khác hằng
( )
hz
sao cho
( )
( )
hz
fz e=
.

♦ Định lý 1.9: Cho
( )
hz
là hàm nguyên khác hằng và
( )
( )
hz
fz e=
. Khi đó


i)
( ) ( )
( )
( )
, ,,Trh oTrf r= →∞
.
ii)
( ) ( )
,' ,T rh S r f=

♦ Định lý 1.10: Đặt
( ) ( )
1,2, ,
j
gz j n=
là các hàm nguyên và
( ) ( )
0,1, ,
j
az j n=
là các hàm phân hình
thoả
( )
( )
( )( )
1
, , , , 1,2, ,
k
n
g
j
k
Tra o Tre r r E j n
=

= →∞ ∉ =


∑
.
Nếu
( )
( )
( )
0
1
.
j
n
gz
j
j
a ze a z
=
≡
∑
thì tồn tại các hằng số
( )
1,2, ,
j
cj n=
, ít nhất một trong số đó khác hằng, sao
cho
( )
( )
1
0
j
n
gz
jj
j
ca ze
=
≡
∑
.
♦ Định lý 1.11: Cho
( )
hz
là hàm nguyên khác hằng và
( )
( )
hz
fz e=
,
λ
và
µ
là bậc và bậc dưới của
( )
fz
.
Ta có
(i) Nếu
( )
hz
là đa thức bậc p thì
p
λµ
= =
.
(ii) Nếu
( )
hz
là hàm nguyên siêu việt thì
λµ
= = ∞
.
♦ Định lý 1.12: Mọi hàm phân hình trong mặt phẳng phức có nhiều nhất hai giá trị Picard.






















Chương 2:
CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN ĐẾN
TỔ HỢP CÁC HÀM PHÂN HÌNH
Trong chương này ta sẽ trình bày các định lý về tổ hợp các hàm phân hình, bao gồm các kết quả thu được
bởi Nevanlinna, Borel, Niiino – Ozawa đóng vai trò quan trọng trong việc xác định duy nhất các hàm phân
hình.

♦ Định lý 2.1: ( Định lý Borel tổng quát )
Giả sử
( ) ( )
1
, ,
n
fz fz
là các hàm phân hình độc lập tuyến tính thoả
1
1
n
j
j
f
=
≡
∑
(2.1)
Khi đó với
1 jn≤≤
ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( )
11
11
, , ,, ,,
nn
j jk
kk
k
Trf Nr Nrf NrD Nrf Nr Sr
fD
= =


≤ + +− − +




∑∑
(2.2)
trong đó D là định thức Wronskian
( )
1
, ,
n
Wf f
,

( ) ( )
( )
( )
,,Sr oT r r r E= →∞ ∉
E là tập có độ đo tuyến tính hữu hạn (2.3)
và
( ) ( )
{ }
1
max ,
k
kn
Tr Trf
≤≤
=
(2.4)
Chứng minh:
Lấy đạo hàm hai vế (2.1) ta có
( )
1
0
n
k
j
j
f
=
≡
∑

( )
1, , 1kn= −
(2.5)
Bởi vì
( ) ( )
1
, ,
n
fz fz
độc lập tuyến tính nên
0D ≡
/
. Từ (2.1), (2.5) ta có
j
DD=

( )
1, ,jn=
, trong đó
j
D
là định thức con của D thu được bằng cách bỏ hàng 1, cột j của D. Vì thế

1
1
23
1
12
.
.
n
n
D
ff f
f
D
ff f


∆

= =

∆


(2.6)
( ) ( )
( )
'
''
12
12
1
11
12
12
1 1 1



n
n
n
nn
n
n
f
ff
ff f
f
ff
ff f
−
−−
∆=
và
( )
( )
'
'
2
2
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
f
f
ff
f
f
ff
−
−
∆=



(2.7)
Từ (2.6), theo định lý cơ bản thứ nhất ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
11 1
11
, , , , , , ,1mrf mr mr mr mr Nr N r O
 
≤ ∆ + ≤ ∆ + ∆+ ∆− +
 
∆∆
 
(2.8)
Bởi vì
12
.
n
D
ff f
∆=
ta có

( ) ( ) ( )
11
11 1
,, , , ,,
nn
k
kk
k
Nr Nr Nr Nrf NrD Nr
fD
= =

 
∆− = − + −

 
∆
 

∑∑
(2.9)


Vì
( )
( )
( )
, , , 1, , 1, 1
k
j
j
j
f
mr Srf Sr j nk n
f


= = = = −


( định lý Milloux )
nên ta có
( ) ( ) ( )
1
,,mr mr Sr∆ + ∆=
(2.10)
Từ (2.8), (2.9), (2.10) ta được
( ) ( ) ( )
111
,,,Trf mrf Nrf= +


( ) ( ) ( )
( )
1
11
11
, ,, , ,
nn
k
kk
k
Nr Nrf NrD Nrf Nr Sr
fD
= =


≤ ++− − +




∑∑
■
♦ Định lý 2.2: Với giả thiết của 2.1 và nếu
( ) ( )
1
,
n
k
k
Nrf Sr
=
=
∑
thì
( )
( )
1
11
, ,,
n
j
k
k
Trf Nr Nr Sr
fD
=


≤ −+




∑

Chứng minh:
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2
, , , 1,
n
kk
k
NrD NrD Nrf n Nrf
=

= ≤ +−

∑

Vì thế
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
12
,,,,,
nn
kk
kk
Nrf NrD Nrf NrD Nrf
= =
+− =−
∑∑


( )
( ) ( )
( )
21
1. , 1. ,
nn
kk
kk
n Nrf n Nrf
= =
≤− ≤−
∑∑
(2.11)
Từ (2.11) và định lý 2.1 ta được
( )
( )
1
1
11
, ,,
n
k
k
Trf Nr Nr Sr
fD
=


≤ −+




∑
■


♦ Định lý 2.3: Giả sử
( ) ( )
1
, ,
n
fz fz

( )
2n ≥
là các hàm phân hình thoả các điều kiện:
(i)
( )
1
.0
n
jj
j
Cf z
=
≡
∑
trong đó
( )
1,
j
Cj n=
là các hằng số.
(ii)
( )
( )
0 1,
j
fz j n
≡=
/
và
( )
( )
j
k
fz
fz
khác hằng với
1 jkn≤<≤
.
(iii)
( )
( )
( )
1
1
,,
n
j
j
j
Nrf Nr o r
f
τ
=


+=






∑
,
( )
1
min ,
j
jkn
k
f
r Tr
f
τ
≤<≤



=








Khi đó
( )
0 1,
j
C jn= =
.
Chứng minh: Ta chứng minh bằng quy nạp.
▪ Với
2n =
ta có
( ) ( )
11 2 2
. .0
Cf z Cf z
+≡
. Nếu một trong hai giá trị
12
,
CC
khác 0, giả sử
1
0C ≠
ta có
( )
( )
1
2
21
fz
C
fz C
≡−
( mâu thuẫn với (ii)). Do đó
12
0CC= =
nên định lý đúng với
2n =
.
▪ Giả sử định lý đúng với
2n ≥
. Ta chứng minh định lý đúng với
1n +
.
Thật vậy, nếu các hàm phân hình
( )
( )
1, 1
j
fz j n= +
thoả mãn điều kiện của định lý, ta có
( )
1
1
.0
n
jj
j
Cf z
+
=
≡
∑

(2.12)
Nếu một trong các
( )
1, 1
j
Cj n= +
khác 0. Ta sẽ chứng minh tất cả
j
C
đều khác 0. Thật vậy nếu trái lại,
không mất tính tổng quát, giả sử
1
0
n
C
+
=
. Từ (2.12) ta có
( )
1
.0
n
jj
j
Cf z
=
≡
∑
, và do
( )
( )
1,
j
fz j n=
thoả mãn
các giả thiết của định lý nên theo giả thuyết quy nạp ta có
( )
0 1,
j
C jn= =
( mâu thuẫn giả sử ). Vậy
( )
0 1, 1
j
C jn≠=+
.
Đặt
( )
( )
(
)
( )
11
.
, 1,
.
jj
j
nn
Cf z
gz j n
Cf z
++
=−=
(2.13)
Từ (2.12) ta có
( )
1
1
n
j
j
gz
=
≡
∑
.
Nếu
( )
( )
1,
j
gz j n=
phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại các hằng số
( )
1,
j
aj n
=
( một trong số chúng khác 0 )
sao cho
( )
1
.0
n
jj
j
ag z
=
≡
∑
. Do đó
( )
1
0
n
j jj
j
aC f z
=
≡
∑
.
Theo giả thuyết quy nạp ta có
.0
jj
aC=

( )
1,jn=
. Bởi vì một trong các
( )
1,
j
aj n=
khác 0, giả sử
1
0a ≠

ta suy ra
1
0C =
( mâu thuẫn vì
( )
0 1,
j
C jn≠=
). Do đó
( )
( )
1,
j
gz j n=
độc lập tuyến tính.
Đặt
( ) ( )
{ }
1
max ,
k
kl
Tr Trg
≤≤
=
,
1,jn∀=
từ (2.13) ta có
( ) ( )
( )
1
1
11 1
,, ,,, ,
j jn
jj n
Nrg Nr Nrf Nr Nrf Nr
gf f
+
+
 

+ ≤+ + +
 

 

 

Từ (iii) ta có
( )
( )
1
,,
j
j
Nrg N r Sr
g

+=



, trong đó
( ) ( )
( )
( )
,,Sr oT r r r E= →∞ ∉
. Vì thế
( )
( )
1
,
n
j
j
Nrg Sr
=
=
∑
và
( )
1
1
,
n
j
j
Nr Sr
g
=

=



∑
.


Áp dụng định lý 2.2 ta có
( ) ( )
,
k
T rg Sr≤
,
( )
1,
kn
=
. Do đó
( ) ( )
Tr Sr≤
( vô lý ).
Vì thế tất cả
( )
0 , 1, 1
j
C jn= = +
.
Vậy định lý đúng với
1n +
■
♦ Định lý 2.4: Giả sử
( ) ( )
1
, ,
n
fz fz
,
( )
2n ≥
là các hàm phân hình và
( ) ( )
1
, ,
n
gz gz
là các hàm nguyên
thoả các điều kiện:
(i)
( )
( )
1
.0
j
n
gz
j
j
f ze
=
≡
∑

(ii)
( ) ( )
jk
gz gz−
khác hằng với
1 jkn≤<≤
.
(iii) Với
1 jn≤≤
,
1 hkn≤<≤
ta có
( )
( )
{ }
,,
hk
gg
j
Trf oTre
−
=
,
( )
,r rE→∞ ∉
.
Khi đó
( )
0
j
fz≡
,
1 jn≤≤
.
Chứng minh:
Ta chứng minh bằng quy nạp.
▪ Khi
2n =
: điều kiện (i) trở thành
( )
( )
( )
( )
12
12
. .0
gz gz
f ze f ze
+≡
. Nếu một trong
( ) ( )
12
,fz fz
không đồng
nhất 0, giả sử
( )
1
0fz≡
/
thì
( ) ( )
( )
( )
12
2
1
gz gz
fz
e
fz
−
≡−
. Do đó theo điều kiện (iii) ta có
( )
( ) ( ) ( )
( )
{ }
12 12
2
12
1
, , , ,1 ,
gg gg
f
Tre Tr Trf Trf O oTre
f
−−

= ≤ + +=


( vô lý ).
Vậy định lý đúng với
2n =
.
▪ Giả sử định lý đúng với
( )
2n ≥
. Ta chứng minh định lý đúng với
1n +
.
Giả sử
( )
j
fz
,
( )
j
gz
( )
1, 1jn= +
thoả mãn các điều kiện của định lý và một trong các
( )
j
fz

( )
1, 1jn= +

không đồng nhất 0. Trái lại, không mất tính tổng quát ta giả sử
( )
1
0
n
fz
+
≡
, khi đó
( )
( )
1
.0
j
n
gz
j
j
f ze
=
≡
∑
. Do
( )
j
fz

( )
1,jn=
thoả các điều kiện của định lý nên theo giả thuyết quy nạp ta có
( )
0
j
fz≡

( )
1,
jn
=
( mâu
thuẫn giả sử ). Vậy
( )
0
j
fz≡
/

( )
1, 1jn= +
.
Đặt
( ) ( )
( )
.
j
gz
jj
F z f ze=
,
1
j
C =

( )
1, 1jn= +
(2.14)
Từ (i) ta có
( )
1
1
.0
n
jj
j
CF z
+
=
≡
∑
.


Ta thấy
( )
0
j
Fz≡
/

( )
1, 1jn= +
và
( )
( )
j
k
Fz
Fz

( )
11
jkn≤<≤+ khác hằng . Hơn thế với
1, 1jn= +
,
11hkn≤<≤+
,
,r rE→∞ ∉
ta có
( ) ( ) ( )
( )
( )
{ }
11
, , , , 2. , 1 ,
hk
gg
jj j
jj
NrF Nr Nrf Nr Trf O oTre
Ff
−
 
+ ≤ + ≤ +=
 
 
 
(2.15)
Bởi vì
.
hk
gg
hh
kk
Ff
e
Ff
−
=
nên suy ra
( )
( ) ( )
( )
, ,. , , , 1
hk
gg
kh h
kh
hk k
fF F
Tre Tr Trf Trf Tr O
fF F
−
  
= ≤++ +
  
  


( )
{ }
,,
hk
gg
h
k
F
T r oT re
F
−

= +



( )
,r rE→∞ ∉

Vì thế
( )
,,
hk
gg
h
k
F
T re OT r
F
−



=





,
( )
,r rE→∞ ∉
(2.16)
Từ (2.15), (2.16) ta được
( )
1
,, ,
h
j
jk
F
NrF N r oT r
FF




+=








,
( )
,r rE→∞ ∉

với
1, 1jn= +
,
11hkn≤<≤+
.
Nghĩa là
( )
j
Fz
,
1, 1jn= +
thoả các điều kiện của định lý 2.3, vì thế
0
j
C =

1, 1
jn
= +
( mâu thuẫn
(2.14)). Vậy
( )
0
j
fz≡

1, 1jn= +
■
♦ Định lý 2.5: Nếu
( )
j
fz
và
( )
j
gz

( )
1,jn=
( )
2n ≥
là các hàm phân hình thoả mãn các điều kiện: (i)
( )
( )
1
.0
j
n
gz
j
j
f ze
=
≡
∑

(ii) Bậc của
j
f
bé hơn bậc của
hk
gg
e
−
với
1 jn≤≤
,
1 hkn≤<≤
.
thì
( )
0
j
fz≡

( )
1,jn=
.
Chứng minh:
Ta sẽ chứng minh điều kiện (ii) của định lý 2.5 ám chỉ điều kiện (ii), (iii) của định lý 2.4. Vì bậc của hàm
nguyên là không âm nên ta thấy bậc của
hk
gg
e
−

( )
hk≠
lớn hơn 0 và vì thế
( ) ( )
jk
gz gz−
,
( )
hk≠
không
thể là hằng. Vậy điều kiện (ii) của định lý 2.4 thoả.


Từ định lý 1.11 suy ra bậc và bậc dưới của
hk
gg
e
−
bằng nhau. Theo giả thiết (ii) trong định lý ta có bậc của
j
f
nhỏ hơn bậc của
hk
gg
e
−
nên bậc của
j
f
nhỏ hơn bậc dưới của
hk
gg
e
−
. Do đó từ định lý 1.5 ta được
( )
( )
{ }
,,
hk
gg
j
Trf oTre
−
=
. Vậy điều kiện (iii) của định lý 2.4 thoả mãn. Vậy theo định lý 2.4 ta có
( )
0
j
fz≡

( )
1,
jn
=
■
Hệ quả: Giả sử
( )
j
fz

( )
1, 1jn= +
và
( )
j
gz

( )
1,jn=

( )
1n ≥
là các hàm nguyên thoả điều kiện sau
(i)
( )
( )
( )
1
1
.
j
n
gz
jn
j
f ze f z
+
=
≡
∑

(ii) Bậc của
j
f
nhỏ hơn bậc của
k
g
e
với
11jn≤≤+
,
1 kn≤≤
. Hơn thế, bậc của
j
f
nhỏ hơn
bậc của
hk
gg
e
−
với
2n ≥
,
11jn≤≤+
,
1 hkn≤<≤
.
Khi đó
( )
0
j
fz≡

( )
1, 1jn= +
.
Chứng minh:
Từ (i) ta có
( )
( )
( )
( )
1
1
1
. .0
j
n
n
gz
gz
jn
j
f ze f ze
+
+
=
−≡
∑
,
( )
1
0
n
gz
e
+
≡
.
Từ (ii) ta thấy bậc của
j
f
nhỏ hơn bậc của
hk
gg
e
−
với
2n ≥
,
11jn≤≤+
,
11hkn≤<≤+
nên điều kiện (ii)
của định lý 2.5 thoả mãn đối với các hàm
( )
j
fz
,
( )
j
gz

( )
1, 1jn= +
. Do đó
( )
0
j
fz≡

( )
1, 1jn= +
■

Bổ đề 2.1: Cho
( ) ( )
12
,fz fz
là các hàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức và
123
,,
ccc
là các hằng
số khác 0. Nếu
11 22 3
cf cf c
+≡
thì
( ) ( ) ( )
1 11
12
11
,,,,,Trf Nr Nr Nrf Srf
ff
  
< + ++
  
  

Chứng minh: Theo định lý cơ bản thứ hai ta có
( )
( ) ( )
1 11
3
1
1
1
11
, , , ,,Trf Nr Nr Nrf Srf
c
f
f
c




< + ++



−


■

♦ Định lý 2.6: Cho
( )
j
fz
,
( )
1, 2, 3j =
là các hàm phân hình ,
( )
1
fz
khác hằng.
Nếu
( )
3
1
1
j
j
fz
=
≡
∑
(2.17)


và
( )
( )
( )
( )
33
11
1
, 2. , 1 .
j
jj
j
Nr Nrf o Tr
f
λ
= =

+ <+



∑∑
,
( )
rI∈
. (2.18) trong đó
1
λ
<
,
( )
( )
{ }
13
max ,
j
j
Tr Trf
≤≤
=
, I
⊂

( )
0, ∞ có độ đo tuyến tính vô hạn.
Khi đó
( )
2
1fz≡ hoặc
( )
3
1fz≡ .
Chứng minh:
◦ Nếu
( )
2
0fz≡
hoặc
( )
3
0fz≡
, giả sử
( )
3
0fz≡
, từ (2.17) ta có
( ) ( )
12
1fz fz+≡
.
Theo định lý cơ bản thứ 2 ta có
( ) ( ) ( )
1 11
11
11
, , , ,,
1
Trf Nr Nr Nrf Srf
ff
  
< + ++
  
−
  


( ) ( ) ( )
( )
( )
11
12
11
,,,, 1.
Nr Nr Nrf Srf o Tr
ff
λ
  
= + + + <+
  
  
( vô lý )
Do đó
( )
2
0fz≡
/
và
( )
3
0fz≡
/
.
◦ Nếu
123
,,fff
độc lập tuyến tính thì theo định lý 2.1 ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )
33
11
11
11
, , ,, , ,
k
kk
k
Trf Nr Nrf NrD Nrf Nr Sr
fD
= =


< ++− − +




∑∑

trong đó
123
'''
123
'' '' ''
123
fff
Dfff
fff
=
và
( ) ( )
( )
Sr oT r=
,
( )
( )
{ }
13
max ,
j
j
Tr Trf
≤≤
=
.
Từ (2.17) ta được
3
23
1
''
3
' ' ' ' '' '' '
23
2 3 23 23
'' ''
1
23
3
'' '' ''
23
1

j
j
j
j
j
j
fff
ff
D fff ffff
ff
fff
=
=
=
= = = −
∑
∑
∑

Vì thế
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
1 23
1
,, , ,,,
k
k
Nrf NrD Nrf NrD Nrf Nrf
=
+− =−−
∑


( ) ( )
23
2. , 2. ,Nrf Nrf≤+

Từ đó ta có
( ) ( ) ( ) ( )
3
1 23
1
1
, , 2. , 2. ,
k
k
Trf Nr Nrf Nrf Sr
f
=

< +++


∑
(2.19)