Ung dung tich phan - tinh dien tich

1
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
Diện tích hình phẳng
Giải Tích 12 – CHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
2
HOẠT ĐỘNG 1 :
Hãy tính diện tích hình thang vuông giới hạn bởi các
đường thẳng : y = – 2x – 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5
S
1
=S
ABCD
= (AD+BC)xAB/2 = 28
Ở Hđ1 bài 2 ta đã tính diện tích S của hình thang
vuông giới hạn bởi các đường thẳng :
y = 2x + 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5.
y

=

–

2
x

–

1
y

=


2
x

+

1
S
S
1
Các em hãy so sánh diện tích hai
hình S và S1, cho nhận xét.
[ ]
[ ]
28)12( : viêt có nên ta
28230)12(
: ðó khi trong
28230)12(
: có Ta
5
1
1
5
1
2
5
1
5
1
2
5
1
=+==
−=+−=−−=−−
=−=+=+=
∫
∫
∫
dxxSS
xxdxx
xxdxxS
3
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và
trục hoành
Cho (C) : y = f(x) liên tục trên [a;b].
f(x)≥0 trên đoạn [a;b]. Hình thang
cong giới hạn bởi đồ thị (C), trục
hoành và 2 đường thẳng x=a ; x=b có
diện tích S được tính theo công thức :
∫
=
b
a
dxxfS )(
Trường hợp f(x) ≤ 0 trên
đoạn [a;b] thì :
S = S
aABb
= S
aA’B’b
=
∫
−
b
a
dxxf )]([
.
4
Tổng quát
Cho (C) : y = f(x) liên tục trên
đoạn [a;b]. Hình thang cong giới
hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và
2 đường thẳng x=a ; x=b có diện
tích S được tính theo công thức :
dxxfS
b
a
∫
= )(
5
VD 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = x
3
, trục hoành và 2 đường thẳng x=-1 ; x=2
Giải : Vì x
3
≤ 0 trên đoạn [-1;0]
và x
3
≥ 0 trên đoạn [0;2] nên:
4
17
4
x
4
x
S
dxx)dxx(dxxS
2
0
4
0
1
4
2
0
3
2
1
0
1
33
=+−=
+−==
−
− −
∫∫ ∫
.
6
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai
đuờng cong.
Cho hai hàm số y=f(x),y=g(x) liên tục trên [a;b]
Trong trường hợp f(x) ≥ g(x) ∀x∈[a;b] Diện
tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y=f(x), y=g(x), x=a, x=b là:
.)]()([
21
dxxgxfSSS
b
a
∫
−=−=
Trong trường hợp tổng quát ta có
công thức
dxxgxfS
b
a
∫
−=
)()(
.
7
dxxgxfS
b
a
∫
−= )()(
Chú ý : Nếu x[α;β],f(x)–g(x)≠0 thì :
dxxgxfdxxgxfS
∫∫
−=−=
β
α
β
α
)]()([)()(
Do đó để tính diện tích S theo công thức trên ta cần khử
dấu trị tuyệt đối dưới tích phân bằng cách :
•
Giải phương trình f(x) – g(x) = 0 , giả sử pt có các
nghiệm c , d (a < c < d < b).
•
Trên từng đoạn [a;c], [c;d], [d;b] thì f(x) – g(x) không
đổi dấu.
•
Đưa dấu trị tuyệt đối ra khỏi tích phân trên từng đoạn.
8
Vd 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
thẳng : x = 0, x = π và đồ thị của 2 hàm số :
y = sinx , y = cosx .
Giải : Pthđgđ : sinx = cosx
⇔ x = π/4 ∈ [0; π]
Vậy diện tích hình phẳng là :
22)sin(cos)sin(cos
)cos(sin)cos(sin
cossincossin
cossin
4
4
0
4
4
0
4
4
0
0
=+++=
−+−=
−+−=
−=
∫∫
∫∫
∫
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
xxxxS
dxxxdxxxS
dxxxdxxxS
dxxxS
9
Vd 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
cong : y = x
3
– x và y = x – x
2
.
Giải : Pthđgđ : x
3
– x = x – x
2
⇔
x
3
+ x
2
– 2x = 0
⇔
x = -2 ; x = 0 ; x = 1
Vậy diện tích hình phẳng là :
12
37
12
5
3
8
3434
)2()2(
2
1
0
2
34
0
2
2
34
1
0
23
0
2
23
1
2
23
=+=








+++








++=
−++−+=
−+=
−
−
−
∫∫
∫
S
x
xx
x
xx
S
dxxxxdxxxxS
dxxxxS
y

=

x
3

-

x
y

=

x

–

x
2
.
10
Củng cố: Cho (C) : y = f(x) ; các em hãy viết công thức tính
diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị tuyệt đối)
S
1
S
2
f(x)dx [-f(x)]dx f(x)dx [-f(x)]dxS .)]([ .)(
c
b
b
2
2
a
a
0
5
1
2
5
1
1
∫∫∫∫∫∫
+++=−==
−−
dxxfSdxxfS

Xem chi tiết: Ung dung tich phan - tinh dien tich